shelterofly

目标

给你两个正整数 n 和 k，二进制字符串 Sn 的形成规则如下：

• S1 = "0"
• 当 i > 1 时，Si = Si-1 + "1" + reverse(invert(Si-1))

其中 + 表示串联操作，reverse(x) 返回反转 x 后得到的字符串，而 invert(x) 则会翻转 x 中的每一位（0 变为 1，而 1 变为 0）。

例如，符合上述描述的序列的前 4 个字符串依次是：

• S1 = "0"
• S2 = "011"
• S3 = "0111001"
• S4 = "011100110110001"

请你返回 Sn 的 第 k 位字符 ，题目数据保证 k 一定在 Sn 长度范围以内。

示例 1：

输入：n = 3, k = 1
输出："0"
解释：S3 为 "0111001"，其第 1 位为 "0" 。

示例 2：

输入：n = 4, k = 11
输出："1"
解释：S4 为 "011100110110001"，其第 11 位为 "1" 。

示例 3：

输入：n = 1, k = 1
输出："0"

示例 4：

输入：n = 2, k = 3
输出："1"

说明：

• 1 <= n <= 20
• 1 <= k <= 2^n - 1

思路

长度为 n 的二进制字符串的递推公式为 S_1 = 0, S_i = S_(i-1) + "1" + reverse(invert(S_(i-1)))，返回 S_n 的 第 k 位 字符，k 从 1 开始。

简单的做法是根据题意模拟，改写一下递推公式的下标，从 i = 0 开始，已知递推公式 s[0] = '0', s[i] = s[i - 1] + '1' + invertAndReverse(s[i - 1])，求 s[n - 1].charAt(k - 1)。

一个更优的做法是递归。s[i] 的长度 len[i] = 2 * len[i - 1] + 1 => len[i] + 1 = 2 (len[i - 1] + 1)，len[i] + 1 是一个首项为 2，公比为 2 的等比数列，第 i 项长度为 2^i - 1。可以将它划分成三部分，注意这里下标从 1 开始：

• 1 ~ 2^(i - 1) - 1 即 s[i - 1]，如果 k 在左半边，问题变为 s[i - 1] 的第 k 个字符
• 2^(i - 1) 值是 1，直接返回
• 2^(i - 1) + 1 ~ 2^i - 1 即 invertAndReverse(s[i - 1])，如果 k 在右半边，问题变为 invertAndReverse(s[i - 1]) 的第 k - 2^(i - 1) 个字符，也是 invert(s[i - 1]) 的第 2^(i - 1) - k + 2^(i - 1) = 2^i - k 个字符。

代码

/**
 * @date 2026-03-03 14:13
 */
public class FindKthBit1545 {

    public char findKthBit(int n, int k) {
        StringBuilder[] s = new StringBuilder[n];
        Arrays.setAll(s, x -> new StringBuilder());
        s[0].append('0');
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            s[i].append(s[i - 1]).append('1').append(invertAndReverse(s[i - 1]));
        }
        return s[n - 1].charAt(k - 1);
    }

    public StringBuilder invertAndReverse(StringBuilder origin) {
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < origin.length(); i++) {
            if (origin.charAt(i) == '0') {
                res.append('1');
            } else {
                res.append('0');
            }
        }
        return res.reverse();
    }

}

性能

目标

给你一个 n x n 的二进制网格 grid，每一次操作中，你可以选择网格的 相邻两行 进行交换。

一个符合要求的网格需要满足主对角线以上的格子全部都是 0 。

请你返回使网格满足要求的最少操作次数，如果无法使网格符合要求，请你返回 -1 。

主对角线指的是从 (1, 1) 到 (n, n) 的这些格子。

示例 1：

输入：grid = [[0,0,1],[1,1,0],[1,0,0]]
输出：3

示例 2：

输入：grid = [[0,1,1,0],[0,1,1,0],[0,1,1,0],[0,1,1,0]]
输出：-1
解释：所有行都是一样的，交换相邻行无法使网格符合要求。

示例 3：

输入：grid = [[1,0,0],[1,1,0],[1,1,1]]
输出：0

说明：

• n == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= n <= 200
• grid[i][j] 要么是 0 要么是 1 。

提示：

• For each row of the grid calculate the most right 1 in the grid in the array maxRight.
• To check if there exist answer, sort maxRight and check if maxRight[i] ≤ i for all possible i's.
• If there exist an answer, simulate the swaps.

思路

有一个 n x n 的二进制矩阵，每次操作可以交换相邻的两行，求使得矩阵主对角线 之上 的所有格子变为 0 所需的最小操作次数。

第 i 行最右侧的 1 的下标不能超过 i，如果不满足条件，找到第一个满足条件的行进行交换。这种贪心策略之所以可行，是因为如果存在多个满足条件的行，由于行从上到下的条件越来越宽松，满足当前行的条件也必定满足后续行，因此选最近的行交换即可。

代码

/**
 * @date 2026-03-02 8:45
 */
public class MinSwaps1536 {

    public int minSwaps(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int[] maxRight = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
                if (grid[i][j] == 1) {
                    maxRight[i] = j;
                    break;
                }
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (maxRight[i] <= i) {
                continue;
            }
            boolean flag = false;
            int prev = maxRight[i];
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                if (maxRight[j] <= i) {
                    res += j - i;
                    flag = true;
                    maxRight[j] = prev;
                    break;
                }
                int tmp = maxRight[j];
                maxRight[j] = prev;
                prev = tmp;
            }
            if (!flag) {
                return -1;
            }
        }
        return res;
    }

}

性能

目标

如果一个十进制数字不含任何前导零，且每一位上的数字不是 0 就是 1 ，那么该数字就是一个 十-二进制数 。例如，101 和 1100 都是 十-二进制数，而 112 和 3001 不是。

给你一个表示十进制整数的字符串 n ，返回和为 n 的 十-二进制数 的最少数目。

示例 1：

输入：n = "32"
输出：3
解释：10 + 11 + 11 = 32

示例 2：

输入：n = "82734"
输出：8

示例 3：

输入：n = "27346209830709182346"
输出：9

说明：

• 1 <= n.length <= 10^5
• n 仅由数字组成
• n 不含任何前导零并总是表示正整数

思路

返回整数 n 中的最大数字即可。

代码

/**
 * @date 2026-04-17 16:06
 */
public class MinPartitions1689 {

    public int minPartitions(String n) {
        int res = 0;
        char[] chars = n.toCharArray();
        for (char c : chars) {
            res = Math.max(res, c - '0');
        }
        return res;
    }
}

性能

目标

给你一个整数 n ，请你将 1 到 n 的二进制表示连接起来，并返回连接结果对应的 十进制 数字对 10^9 + 7 取余的结果。

示例 1：

输入：n = 1
输出：1
解释：二进制的 "1" 对应着十进制的 1 。

示例 2：

输入：n = 3
输出：27
解释：二进制下，1，2 和 3 分别对应 "1" ，"10" 和 "11" 。
将它们依次连接，我们得到 "11011" ，对应着十进制的 27 。

示例 3：

输入：n = 12
输出：505379714
解释：连接结果为 "1101110010111011110001001101010111100" 。
对应的十进制数字为 118505380540 。
对 10^9 + 7 取余后，结果为 505379714 。

说明：

• 1 <= n <= 10^5

思路

拼接 1 ~ n 的二进制表示，将结果对应的十进制数对 10^9 + 7 取模。

遍历 1 ~ n 模拟拼接过程，将之前拼接的数字左移当前数字的 bitLength 并对 mod 取模。拼接 a b c 可以视为 (a * 2^bitLength(b) + b) * 2^bitLength(c) + c，可以先对括号内的运算取模，即 (a << bitLength(b)) + b ) % mod。

代码

/**
 * @date 2026-02-28 9:18
 */
public class ConcatenatedBinary1680 {

    public int concatenatedBinary(int n) {
        int mod = 1000000007;
        long res = 0L;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int bl = 32 - Integer.numberOfLeadingZeros(i);
            res = ((res << bl) + i) % mod;
        }
        return (int) res;
    }

}

性能

目标

给你一个以二进制形式表示的数字 s 。请你返回按下述规则将其减少到 1 所需要的步骤数：

如果当前数字为偶数，则将其除以 2 。

如果当前数字为奇数，则将其加上 1 。

题目保证你总是可以按上述规则将测试用例变为 1 。

示例 1：

输入：s = "1101"
输出：6
解释："1101" 表示十进制数 13 。
Step 1) 13 是奇数，加 1 得到 14 
Step 2) 14 是偶数，除 2 得到 7
Step 3) 7  是奇数，加 1 得到 8
Step 4) 8  是偶数，除 2 得到 4  
Step 5) 4  是偶数，除 2 得到 2 
Step 6) 2  是偶数，除 2 得到 1  

示例 2：

输入：s = "10"
输出：1
解释："10" 表示十进制数 2 。
Step 1) 2 是偶数，除 2 得到 1 

示例 3：

输入：s = "1"
输出：0

说明：

• 1 <= s.length <= 500
• s 由字符 '0' 或 '1' 组成。
• s[0] == '1'

思路

有一个二进制表示的数字，如果当前是偶数，可以将数字除以 2，即右移；如果当前是奇数，将数字加 1。求将数字变为 1 需要的操作数。

根据题意模拟，使用变量 carry 保存进位，从右向左遍历，判断最后一位数字 d 与 carry 相加后的奇偶性，即 sum = d + carry。如果 sum 是偶数（0 或者 2），右移后这一位消失，只需考虑 carry = sum / 2；如果 sum 是奇数，加一后进位 carry = 1，此时当前数字变为偶数，可以将这两个操作合并。

代码

/**
 * @date 2026-02-26 8:51
 */
public class NumSteps1404 {

    public int numSteps(String s) {
        int res = 0;
        int n = s.length();
        char[] chars = s.toCharArray();
        int carry = 0;
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            int d = chars[i] - '0';
            int sum = d + carry;
            if (sum % 2 == 0) {
                carry = sum / 2;
                res++;
            } else {
                carry = 1;
                res += 2;
            }
        }
        return res + carry;
    }

}

性能