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目标

给你一个以 (radius, xCenter, yCenter) 表示的圆和一个与坐标轴平行的矩形 (x1, y1, x2, y2) ，其中 (x1, y1) 是矩形左下角的坐标，而 (x2, y2) 是右上角的坐标。

如果圆和矩形有重叠的部分，请你返回 true ，否则返回 false 。

换句话说，请你检测是否 存在 点 (xi, yi) ，它既在圆上也在矩形上（两者都包括点落在边界上的情况）。

示例 1 ：

输入：radius = 1, xCenter = 0, yCenter = 0, x1 = 1, y1 = -1, x2 = 3, y2 = 1
输出：true
解释：圆和矩形存在公共点 (1,0) 。

示例 2 ：

输入：radius = 1, xCenter = 1, yCenter = 1, x1 = 1, y1 = -3, x2 = 2, y2 = -1
输出：false

示例 3 ：

输入：radius = 1, xCenter = 0, yCenter = 0, x1 = -1, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 1
输出：true

说明：

• 1 <= radius <= 2000
• -10^4 <= xCenter, yCenter <= 10^4
• -10^4 <= x1 < x2 <= 10^4
• -10^4 <= y1 < y2 <= 10^4

思路

平面坐标中有一个圆 (radius, xCenter, yCenter) 和一个平行于坐标轴的矩形 (x1, y1, x2, y2)，判断圆和矩形是否重叠。

求出圆心到矩形的最短距离，然后判断最短距离与圆的半径关系。最短距离为 dx^2 + dy^2 = (x - xCenter)^2 + (y - yCenter)^2，要使距离最小，分别使 |dx| 与 |dy| 最小即可。

要使 x1 <= x <= x2 与 xCenter 的距离最小，

• 当 x1 <= xCenter <= x2 时，取 x = xCenter；
• 当 xCenter < x1 时，取 x = x1；
• 当 xCenter > x2 时，取 x = x2；

可简化为 x = Math.max(x1, Math.min(xCenter, x2))，同理 y = Math.max(y1, Math.min(yCenter, y2))。

代码

/**
 * @date 2026-09-22 10:18
 */
public class CheckOverlap1401 {

    public boolean checkOverlap(int radius, int xCenter, int yCenter, int x1, int y1, int x2, int y2) {
        int dx = Math.max(x1, Math.min(xCenter, x2)) - xCenter;
        int dy = Math.max(y1, Math.min(yCenter, y2)) - yCenter;
        return dx * dx + dy * dy <= radius * radius;
    }
}

性能

目标

给你一个整数数组 arr 和一个整数值 target 。

请你在 arr 中找 两个互不重叠的子数组 且它们的和都等于 target 。可能会有多种方案，请你返回满足要求的两个子数组长度和的 最小值 。

请返回满足要求的最小长度和，如果无法找到这样的两个子数组，请返回 -1 。

示例 1：

输入：arr = [3,2,2,4,3], target = 3
输出：2
解释：只有两个子数组和为 3 （[3] 和 [3]）。它们的长度和为 2 。

示例 2：

输入：arr = [7,3,4,7], target = 7
输出：2
解释：尽管我们有 3 个互不重叠的子数组和为 7 （[7], [3,4] 和 [7]），但我们会选择第一个和第三个子数组，因为它们的长度和 2 是最小值。

示例 3：

输入：arr = [4,3,2,6,2,3,4], target = 6
输出：-1
解释：我们只有一个和为 6 的子数组。

示例 4：

输入：arr = [5,5,4,4,5], target = 3
输出：-1
解释：我们无法找到和为 3 的子数组。

示例 5：

输入：arr = [3,1,1,1,5,1,2,1], target = 3
输出：3
解释：注意子数组 [1,2] 和 [2,1] 不能成为一个方案因为它们重叠了。

说明：

• 1 <= arr.length <= 10^5
• 1 <= arr[i] <= 1000
• 1 <= target <= 10^8

思路

有一个整数数组 arr 和一个整数值 target，从数组中找到两个不重叠的子数组，使得子数组的和为 target，返回这两个子数组长度之和的最小值。

将重叠问题进行前后缀分解，在各自的部分只需考虑和为 target 的最小长度，最小长度可以使用滑动窗口。

代码

/**
 * @date 2026-09-17 10:06
 */
public class MinSumOfLengths1477 {

    public int minSumOfLengths(int[] arr, int target) {
        int n = arr.length;
        int[] pre = new int[n + 1];
        int[] suf = new int[n + 1];
        Arrays.fill(pre, Integer.MAX_VALUE);
        Arrays.fill(suf, Integer.MAX_VALUE);
        int sum = 0;
        int l = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum += arr[i];
            while (sum > target) {
                sum -= arr[l++];
            }
            if (sum == target) {
                pre[i + 1] = Math.min(pre[i], i - l + 1);
            } else {
                pre[i + 1] = pre[i];
            }
        }
        sum = 0;
        int r = n - 1;
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            sum += arr[i];
            while (sum > target) {
                sum -= arr[r--];
            }
            if (sum == target) {
                suf[i] = Math.min(suf[i + 1], r - i + 1);
            } else {
                suf[i] = suf[i + 1];
            }
        }
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (pre[i + 1] != Integer.MAX_VALUE && suf[i + 1] != Integer.MAX_VALUE) {
                res = Math.min(res, pre[i + 1] + suf[i + 1]);
            }
        }
        return res == Integer.MAX_VALUE ? -1 : res;
    }

}

性能

目标

给你一维空间的 n 个点，其中第 i 个点（编号从 0 到 n-1）位于 x = i 处，请你找到 恰好 k 个不重叠 线段且每个线段至少覆盖两个点的方案数。线段的两个端点必须都是 整数坐标 。这 k 个线段不需要全部覆盖全部 n 个点，且它们的端点 可以 重合。

请你返回 k 个不重叠线段的方案数。由于答案可能很大，请将结果对 10^9 + 7 取余 后返回。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：5
解释：
如图所示，两个线段分别用红色和蓝色标出。
上图展示了 5 种不同的方案 {(0,2),(2,3)}，{(0,1),(1,3)}，{(0,1),(2,3)}，{(1,2),(2,3)}，{(0,1),(1,2)} 。

示例 2：

输入：n = 3, k = 1
输出：3
解释：总共有 3 种不同的方案 {(0,1)}, {(0,2)}, {(1,2)} 。

示例 3：

输入：n = 30, k = 7
输出：796297179
解释：画 7 条线段的总方案数为 3796297200 种。将这个数对 10^9 + 7 取余得到 796297179 。

示例 4：

输入：n = 5, k = 3
输出：7

示例 5：

输入：n = 3, k = 2
输出：1

说明：

• 2 <= n <= 1000
• 1 <= k <= n-1

思路

数轴上有 n 个点，编号为 0 ~ n - 1，求从中选择 k 个不重叠线段（至少覆盖两个点）的方案数。线段 [a, b] 与 [c, d] 不重叠指 b <=c 或 d <= a。

定义 dp[i][k] 表示 [0, i] 中恰好 k 个不重叠线段的方案数。根据选或者不选 i 考虑状态转移方程，如果不选 i，方案数等于前面的方案数，如果选，需要枚举前面所有的 p ∈ [0, i - 1]，累加 dp[p][j - 1]。

• dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + sum) % mod，sum = Σdp[p][j - 1], p ∈ [0, i - 1]

代码

/**
 * @date 2026-09-17 15:31
 */
public class NumberOfSets1621 {

    public int numberOfSets(int n, int k) {
        int mod = 1000000007;
        int[][] dp = new int[n][k + 1];
        dp[0][0] = 1;
        int[] prefix = new int[k + 1];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                prefix[j] = (prefix[j] + dp[i - 1][j - 1]) % mod;
                dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + prefix[j]) % mod;
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res = (res + dp[i][k]) % mod;
        }
        return res;
    }

}

性能

目标

给你一个整数 n。

返回将所有从 [1, n]（包含两端）范围内的整数以 标准 数字格式书写时所用到的 逗号总数。

在 标准 格式中：

• 从右边开始，每 三位 数字后插入一个逗号。
• 位数 少于四位 的数字不包含逗号。

示例 1：

输入： n = 1002
输出： 3
解释：
数字 "1,000"、"1,001" 和 "1,002" 每个都包含一个逗号，总计 3 个逗号。

示例 2：

输入： n = 998
输出： 0
解释：
从 1 到 998 的所有数字位数都少于四位，因此没有使用逗号。

说明：

• 1 <= n <= 10^15

思路

返回 [1, n] 之间所有整数的标准写法中总共有多少逗号。所谓标准写法指从右开始每 3 个数字插入一个逗号，且逗号不能位于开头。

• 1,000 ~ 999,999 之间的数字有 1 个逗号
• 1,000,000 ~ 999,999,999 之间的数字有 2 个逗号
• 1,000,000,000 ~ 999,999,999,999 之间的数字有 3 个逗号
• 1,000,000,000,000 ~ 999,999,999,999,999 之间的数字有 4 个逗号
• 1,000,000,000,000,000 有 5 个逗号

返回 max(0, n - 999) + max(0, n - 999999) + max(0, n - 999999999) + max(0, n - 999999999999) + max(0, n - 999999999999999)。

可以写成循环的形式，for (long i = 1000; i <= n; i *= 1000) { res += n - i + 1; }。

代码

/**
 * @date 2026-09-08 9:15
 */
public class CountCommas3871 {

    public long countCommas(long n) {
        long res = 0;
        for (long i = 1000; i <= n; i *= 1000) {
            res += n - i + 1;
        }
        return res;
    }
}

性能