标签： medium

目标

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。如果 i < j 且 j - i != nums[j] - nums[i] ，那么我们称 (i, j) 是一个 坏数对 。

请你返回 nums 中 坏数对 的总数目。

示例 1：

输入：nums = [4,1,3,3]
输出：5
解释：数对 (0, 1) 是坏数对，因为 1 - 0 != 1 - 4 。
数对 (0, 2) 是坏数对，因为 2 - 0 != 3 - 4, 2 != -1 。
数对 (0, 3) 是坏数对，因为 3 - 0 != 3 - 4, 3 != -1 。
数对 (1, 2) 是坏数对，因为 2 - 1 != 3 - 1, 1 != 2 。
数对 (2, 3) 是坏数对，因为 3 - 2 != 3 - 3, 1 != 0 。
总共有 5 个坏数对，所以我们返回 5 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,4,5]
输出：0
解释：没有坏数对。

说明：

• 1 <= nums.length <= 10^5
• 1 <= nums[i] <= 10^9

思路

求数组中有多少坏数对，定义坏数对 (i, j) 满足 i < j && j - i != nums[j] - nums[i]。

将题目中的条件转化一下，j - nums[j] != i - nums[i]，可以维护一个 下标 - 元素值 数组。问题变为求当前下标前有多少个元素与当前元素 不同。对元素值计数，使用当前元素下标（表示 i 前的元素个数）减去当前元素值在前面的出现次数即可。

代码

/**
 * @date 2025-04-18 8:52
 */
public class CountBadPairs2364 {

    public long countBadPairs(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        long res = 0L;
        Map<Integer, Long> cnt = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res += i - cnt.merge(i - nums[i], 1L, Long::sum) + 1;
        }
        return res;
    }
}

性能

目标

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你返回 nums 中 好 子数组的数目。

一个子数组 arr 如果有 至少 k 对下标 (i, j) 满足 i < j 且 arr[i] == arr[j] ，那么称它是一个 好 子数组。

子数组 是原数组中一段连续 非空 的元素序列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], k = 10
输出：1
解释：唯一的好子数组是这个数组本身。

示例 2：

输入：nums = [3,1,4,3,2,2,4], k = 2
输出：4
解释：总共有 4 个不同的好子数组：
- [3,1,4,3,2,2] 有 2 对。
- [3,1,4,3,2,2,4] 有 3 对。
- [1,4,3,2,2,4] 有 2 对。
- [4,3,2,2,4] 有 2 对。

说明：

• 1 <= nums.length <= 10^5
• 1 <= nums[i], k <= 10^9

思路

返回数组 nums 的好子数组个数，好子数组定义为 子数组内至少有 k 对 (i, j) 满足 i < j 且 arr[i] == arr[j]。

可以使用滑动窗口，保证窗口内的子数组中至少包含 k 个合法数对。使用哈希表记录重复元素的个数，同时累加该重复元素新增加的数对个数，如果数对个数大于等于 k，收缩左边界直到数对个数小于 k，在循环中累加结果，子数组 [l, r ~ n - 1] 的个数为 n - r。当然也可以累加 子数组 [0 ~ l - 1, r] 个数为 l，结果是一样的。

代码

/**
 * @date 2025-04-16 8:39
 */
public class CountGood2537 {

    public long countGood(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        long res = 0;
        Map<Integer, Integer> cnt = new HashMap<>();
        int l = 0;
        int pairCnt = 0;
        for (int r = 0; r < n; r++) {
            pairCnt += cnt.getOrDefault(nums[r], 0);
            cnt.merge(nums[r], 1, Integer::sum);
            while (pairCnt >= k){
                res += n - r;
                cnt.merge(nums[l], -1, Integer::sum);
                pairCnt -= cnt.get(nums[l++]);
            }
        }
        return res;
    }

}

性能

目标

我们称一个数字字符串是 好数字 当它满足（下标从 0 开始）偶数 下标处的数字为 偶数 且 奇数 下标处的数字为 质数 （2，3，5 或 7）。

• 比方说，"2582" 是好数字，因为偶数下标处的数字（2 和 8）是偶数且奇数下标处的数字（5 和 2）为质数。但 "3245" 不是 好数字，因为 3 在偶数下标处但不是偶数。

给你一个整数 n ，请你返回长度为 n 且为好数字的数字字符串 总数 。由于答案可能会很大，请你将它对 10^9 + 7 取余后返回 。

一个 数字字符串 是每一位都由 0 到 9 组成的字符串，且可能包含前导 0 。

示例 1：

输入：n = 1
输出：5
解释：长度为 1 的好数字包括 "0"，"2"，"4"，"6"，"8" 。

示例 2：

输入：n = 4
输出：400

示例 3：

输入：n = 50
输出：564908303

说明：

1 <= n <= 10^15

思路

定义好数字是奇数下标为质数，偶数下标为偶数的数字，返回长度为 n 的好数字字符串的个数，结果对 10^9 + 7 取余。注意允许包含前导零。

偶数下标可选 0 2 4 6 8，奇数下标可选 2 3 5 7。实际上是考查快速幂的计算，如果 n 是奇数，那么最高位下标为偶数，5^(n/2+1) * 4^(n/2)。如果 n 是偶数，最高位下标为奇数，5^(n/2) * 4^(n/2)。合在一起就是 5^(n/2 + n%2) * 4^(n/2)。

代码

/**
 * @date 2025-04-13 0:43
 */
public class CountGoodNumbers1922 {

    private static final int MOD = 1000000007;

    public int countGoodNumbers(long n) {
        if (n == 1) {
            return 5;
        }
        return (int) ((pow(5, n / 2 + n % 2) * pow(4, n / 2)) % MOD);
    }

    public long pow(int base, long exponent) {
        long res = 1L;
        while (exponent > 0) {
            if ((exponent & 1) == 1) {
                res = (int) (base * res % MOD);
            }
            base = (int) (((long) base * base) % MOD);
            exponent >>= 1;
        }
        return res;
    }

}

性能

目标

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

说明：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100

思路

给定非空数组 nums，判断能否将数组划分成两个子序列，使得子序列的元素和相等。

可以求出所有元素和，然后记忆化搜索子序列，使用所有元素和减去子序列和可得剩余子序列的和。

代码

/**
 * @date 2025-04-07 8:47
 */
public class CanPartition416 {

    /**
     * 定义 dp[i][j] 表示 i ~ n - 1 是否存在和为 j 的子序列，初始化 dp[n][0] = true
     * 状态转移方程为 dp[i][j] = dp[i + 1][j] || dp[i + 1][j - nums[i]]
     */
    public boolean canPartition_v1(int[] nums) {
        int t = Arrays.stream(nums).sum();
        if (t % 2 != 0) {
            return false;
        }
        int n = nums.length;
        boolean[][] dp = new boolean[n + 1][t / 2 + 1];
        dp[n][0] = true;
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= t / 2; j++) {
                dp[i][j] = j >= nums[i] && dp[i + 1][j - nums[i]] || dp[i + 1][j];
            }
        }
        return dp[0][t / 2];
    }

    int total;

    public boolean canPartition(int[] nums) {
        for (int num : nums) {
            total += num;
        }
        if (total % 2 != 0) {
            return false;
        }
        int[][] mem = new int[nums.length][total + 1];
        for (int[] m : mem) {
            Arrays.fill(m, -1);
        }
        return dfs(0, nums, 0, mem);
    }

    public boolean dfs(int index, int[] nums, int sum, int[][] mem) {
        if (index == nums.length) {
            return total == sum << 1;
        }
        if (mem[index][sum] != -1) {
            return mem[index][sum] == 1;
        }
        boolean res;
        res = dfs(index + 1, nums, sum, mem);
        if (!res) {
            res = dfs(index + 1, nums, sum + nums[index], mem);
        }
        mem[index][sum] = res ? 1 : 0;
        return res;
    }

}

性能

目标

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。

请你从所有满足 i < j < k 的下标三元组 (i, j, k) 中，找出并返回下标三元组的最大值。如果所有满足条件的三元组的值都是负数，则返回 0 。

下标三元组 (i, j, k) 的值等于 (nums[i] - nums[j]) * nums[k] 。

示例 1：

输入：nums = [12,6,1,2,7]
输出：77
解释：下标三元组 (0, 2, 4) 的值是 (nums[0] - nums[2]) * nums[4] = 77 。
可以证明不存在值大于 77 的有序下标三元组。

示例 2：

输入：nums = [1,10,3,4,19]
输出：133
解释：下标三元组 (1, 2, 4) 的值是 (nums[1] - nums[2]) * nums[4] = 133 。
可以证明不存在值大于 133 的有序下标三元组。 

示例 3：

输入：nums = [1,2,3]
输出：0
解释：唯一的下标三元组 (0, 1, 2) 的值是一个负数，(nums[0] - nums[1]) * nums[2] = -3 。因此，答案是 0 。

说明：

• 3 <= nums.length <= 10^5
• 1 <= nums[i] <= 10^6

思路

求数组 nums 的下标 0 <= i < j < k < n 时 (nums[i] - nums[j]) * nums[k] 的最大值。

与 2873.有序三元组中的最大值I 相比数组最大长度变成了 10^5。

只能选择枚举 k，维护前缀最大值，以及最大值与当前元素的最大差值。

由于题目要求负值取 0 所以更新最大值与最大差值的顺序不影响。但是更新 maxDiff * nums[k] 就必须放在第一位，因为这时 maxDiff 还未更新，还是 k 左侧的最大差值。

代码

/**
 * @date 2025-04-03 0:41
 */
public class MaximumTripletValue2874 {

    public long maximumTripletValue(int[] nums) {
        long res = 0L;
        int n = nums.length;
        int max = 0;
        long maxDiff = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res = Math.max(res, maxDiff * nums[i]);
            maxDiff = Math.max(maxDiff, max - nums[i]);
            max = Math.max(max, nums[i]);
        }
        return res;
    }

}

性能

目标

给你一个下标从 0 开始、长度为 n 的二进制字符串 s ，你可以对其执行两种操作：

• 选中一个下标 i 并且反转从下标 0 到下标 i（包括下标 0 和下标 i ）的所有字符，成本为 i + 1 。
• 选中一个下标 i 并且反转从下标 i 到下标 n - 1（包括下标 i 和下标 n - 1 ）的所有字符，成本为 n - i 。

返回使字符串内所有字符 相等 需要的 最小成本 。

反转 字符意味着：如果原来的值是 '0' ，则反转后值变为 '1' ，反之亦然。

示例 1：

输入：s = "0011"
输出：2
解释：执行第二种操作，选中下标 i = 2 ，可以得到 s = "0000" ，成本为 2 。可以证明 2 是使所有字符相等的最小成本。

示例 2：

输入：s = "010101"
输出：9
解释：执行第一种操作，选中下标 i = 2 ，可以得到 s = "101101" ，成本为 3 。
执行第一种操作，选中下标 i = 1 ，可以得到 s = "011101" ，成本为 2 。
执行第一种操作，选中下标 i = 0 ，可以得到 s = "111101" ，成本为 1 。
执行第二种操作，选中下标 i = 4 ，可以得到 s = "111110" ，成本为 2 。
执行第二种操作，选中下标 i = 5 ，可以得到 s = "111111" ，成本为 1 。
使所有字符相等的总成本等于 9 。可以证明 9 是使所有字符相等的最小成本。 

说明：

• 1 <= s.length == n <= 10^5
• s[i] 为 '0' 或 '1'

思路

有一个二进制字符串，每次操作可以反转前缀 0 ~ i，成本是 i + 1，也可以反转后缀 i ~ n - 1，成本是 n - i。求使字符串所有字符相等的最小成本。

如何操作才能使字符相等？相等字符是 0 还是 1？操作哪边才能使成本最小？

关键点是想清楚与是 0 还是 1 没有关系，只要相邻的元素值不同，就必须要反转，无非是考虑反转前缀还是后缀，每次操作只影响相邻的元素关系。

代码

/**
 * @date 2025-03-27 1:33
 */
public class MinimumCost2712 {

    public long minimumCost(String s) {
        int n = s.length();
        long res = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (s.charAt(i) != s.charAt(i - 1)) {
                // i 表示反转 0 ~ i - 1，n - i 表示反转 i ~ n - 1
                res += Math.min(i, n - i);
            }
        }
        return res;
    }
}

性能

目标

给你两个整数 n 和 k 。

对于一个由 不同 正整数组成的数组，如果其中不存在任何求和等于 k 的不同元素对，则称其为 k-avoiding 数组。

返回长度为 n 的 k-avoiding 数组的可能的最小总和。

示例 1：

输入：n = 5, k = 4
输出：18
解释：设若 k-avoiding 数组为 [1,2,4,5,6] ，其元素总和为 18 。
可以证明不存在总和小于 18 的 k-avoiding 数组。

示例 2：

输入：n = 2, k = 6
输出：3
解释：可以构造数组 [1,2] ，其元素总和为 3 。
可以证明不存在总和小于 3 的 k-avoiding 数组。 

说明：

• 1 <= n, k <= 50

思路

定义 k-avoiding 数组是由不同的正整数组成，并且任意两个元素的和不等于 k 的数组。求长度为 n 的 k-avoiding 数组的最小和。

构造一个长度为 n 的正整数数组，要使和最小，需要从 num = 1 开始选，跳过 k - num。

网友指出可以使用等差数列求和来计算，第一部分是 1 ~ m, m = min(k / 2, n) 和为 m * (m + 1) / 2，第二部分是 k ~ k + n - m - 1，和为 (n - m) * (2 * k + n - m - 1) / 2。

代码

/**
 * @date 2025-03-26 0:13
 */
public class MinimumSum2829 {

    public int minimumSum(int n, int k) {
        int res = 0;
        int length = 0;
        int num = 1;
        Set<Integer> avoiding = new HashSet<>();
        while (length < n) {
            if (avoiding.contains(num)) {
                num++;
                continue;
            }
            if (num < k) {
                avoiding.add(k - num);
            }
            length++;
            res += num;
            num++;
        }
        return res;
    }

}

性能